Ukończył studia w warszawskiej Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej. Uczestniczył w międzynarodowych konkursach organowych w Chartres i Pradze.
Od 1979 r. kieruje Chórem Akademickim SGGW, wraz z którym wykonał szereg wielkich form oratoryjnych, m.in: „Magnificat” „Johannespassion” i Mszę h moll J.S.Bacha, „Requiem” W.A.Mozarta,”Ein Deutsches Requiem” J.Brahmsa.

Od 1983 r. równolegle pełni obowiązki organisty Kościoła św. Krzyża, skąd w każdą niedzielę Polskie Radio transmituje msze święte.
W latach 1982- 2005 związany był współpracą artystyczną ze znakomitą polską śpiewaczką Stefanią Woytowicz. Michał Dąbrowski dokonał prawykonań utworów kompozytorów polskich: Henryka Mikołaja Góreckiego, Bolesława Woytowicza, Andrzeja Kurylewicza i Mariana Sawy.
Od 2000 r. wykłada w Uniwersytecie Muzycznym w Warszawie i Białymstoku (2000-2009) improwizację organową i grę liturgiczną, a od 2015 r. uczy również organów.
W 2014 roku uzyskał tytuł doktora sztuki muzycznej, a w 2015 roku otrzymał Brązowy Medal „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”. Koncertuje w kraju i za granicą. Jako organista i dyrygent dokonał nagrań płytowych, radiowych, telewizyjnych i filmowych.